Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, tam giác $SAB$ là tam giác đều nằm trong mặt phẳng tạo với mặt phẳng đáy một góc $60^{\circ }$. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$.

Gọi $M$ là trung điểm của $AB$. Vì $△SAB$ đều cạnh $a$ nên $SM\perp AB$ và $SM=\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Kẻ $SH\perp (ABCD)$, do $SM\perp AB$ nên góc giữa mặt phẳng $(SAB)$ và đáy là $\widehat{SMH}=60^{\circ }$. Chiều cao của hình chóp là $h=SH=SM\cdot \sin 60^{\circ }=\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3a}{4}$. Diện tích đáy $S_{ABCD}=a^2$. Thể tích khối chóp là $V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot h=\frac{1}{3}{a}^2\cdot \frac{3a}{4}=\frac{a^3}{4}$. Vậy chọn C.