Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$ cạnh $a$, cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt đáy, $SA=a\sqrt{3}$. Các mệnh đề sau đúng hay sai?

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $O$ là tâm hình vuông nên $BO\perp AC$ (hai đường chéo vuông góc nhau), $BO$ chính là khoảng cách từ $B$ đến $AC$. b) Sai: $AB\parallel CD$ nên $d(A,(SCD))=d(B,(SCD))$. Thể tích $S.ABCD=\frac{1}{3}{a}^2\cdot a\sqrt{3}=\frac{a^3\sqrt{3}}{3}$, $V_{S.CDA}=\frac{a^3\sqrt{3}}{6}$, $SC=\sqrt{S{A}^2+A{C}^2}=\sqrt{3a^2+2a^2}=a\sqrt{5}$, $S_{SCD}=\frac{1}{2}a\cdot a\sqrt{5}=\frac{a^2\sqrt{5}}{2}$, nên $h=\frac{3V_{S.CDA}}{S_{SCD}}=\frac{a^3\sqrt{3}/2}{a^2\sqrt{5}/2}=\frac{a\sqrt{15}}{5}\ne \frac{a\sqrt{3}}{3}$. c) Sai: $V=\frac{a^3\sqrt{3}}{3}$, không phải $a^3\sqrt{3}$. d) Đúng: $SA\perp (ABCD)$ nên $d(SA,BD)=d(A,BD)=AO=\frac{a\sqrt{2}}{2}$ (vì $AC\perp BD$ tại $O$).
a) (AI giải đề cho tôi)
Hai đường chéo hình vuông vuông góc tại $O$ nên $BO\perp AC$, $BO$ là khoảng cách từ $B$ đến $AC$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $AB\parallel CD$ nên $d(A,(SCD))=d(B,(SCD))=\frac{3V_{S.CDA}}{S_{SCD}}=\frac{a\sqrt{15}}{5}\ne \frac{a\sqrt{3}}{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SA=\frac{1}{3}{a}^2\cdot a\sqrt{3}=\frac{a^3\sqrt{3}}{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$SA\perp (ABCD)$, $A\in SA$ nên $d(SA,BD)=d(A,BD)=AO=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.