Cho lăng trụ đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có tất cả các cạnh có độ dài bằng $2a$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $A{C}^{\prime }$ và $A^{\prime }B$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(2a;0;0)$, $C(a;\sqrt{3}a;0)$, $A^{\prime }(0;0;2a)$, $C^{\prime }(a;\sqrt{3}a;2a)$. Suy ra $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(a;\sqrt{3}a;2a)$, $\overrightarrow{A^{\prime }B}=(2a;0;-2a)$. Vectơ pháp tuyến chung: $\vec{n}=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}\times \overrightarrow{A^{\prime }B}=(-2\sqrt{3}{a}^2;6a^2;-2\sqrt{3}{a}^2)$, với $|\vec{n}|=a^2\sqrt{12+36+12}=2\sqrt{15}{a}^2$. Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau: $d=\frac{|\overrightarrow{AB}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{|2a\cdot (-2\sqrt{3}{a}^2)|}{2\sqrt{15}{a}^2}=\frac{4\sqrt{3}{a}^3}{2\sqrt{15}{a}^2}=\frac{2a}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}a}{5}$. Kiểm tra lại tích có hướng và tích vô hướng đều đúng, kết quả khớp đáp án.