Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành, $M$ là trung điểm của cạnh $BC$. Gọi $(\alpha )$ là mặt phẳng đi qua $A,M$ và song song với $SD$, $(\alpha )$ cắt $SB$ tại $N$. Tính tỉ số $\frac{SN}{BN}$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $D(0;1;0)$, $C(1;1;0)$ (hình bình hành), $S(0;0;1)$, $M$ trung điểm $BC$ nên $M(1;\frac{1}{2};0)$.

Véctor chỉ phương của $SD$ là $\overrightarrow{SD}=(0;1;-1)$, véctor $\overrightarrow{AM}=(1;\frac{1}{2};0)$. Véctor pháp tuyến của $(\alpha )$:
$$\vec{n}=\overrightarrow{AM}\times \overrightarrow{SD}=\left(-\frac{1}{2};1;1\right).$$
Vì $(\alpha )$ qua $A(0;0;0)$ nên phương trình: $-\frac{1}{2}x+y+z=0$.

Điểm trên $SB$: $S(0;0;1)$, $B(1;0;0)$ nên điểm dạng $(t;0;1-t)$. Thay vào phương trình mặt phẳng:
$$-\frac{1}{2}t+0+(1-t)=0\Rightarrow \frac{3}{2}t=1\Rightarrow t=\frac{2}{3}.$$
Vậy $N$ với $SN=\frac{2}{3}SB$, $BN=\frac{1}{3}SB$, do đó $\frac{SN}{BN}=2$.