Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông tâm $O$ cạnh $AB=a$, $SD=\frac{a\sqrt{17}}{2}$, hình chiếu vuông góc của $S$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ là trung điểm $H$ của đoạn $AB$. Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBD)$ theo $a$.

Ta có : $AB=2HB\Rightarrow d\left(A,(SBD)\right)=2d\left(H,(SBD)\right)$. Gọi $E$ là trung điểm $BO$; khi đó $HE\perp BO$. Lại có $SH\perp BO$ (do $SH\perp (ABCD)$) nên $BO\perp (SHE)$. Hạ $HK\perp SE$ tại $K$. Ta có : $HK\perp BO$ vì $BO\perp (SHE)\supset HK$. Nên $HK\perp (SBD)$ tại $K$ suy ra: $d\left(H,(SBD)\right)=HK$. Xét $\Delta AHD$: $HD=\sqrt{A{H}^2+A{D}^2}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$. Xét $\Delta SHD$: $SH=\sqrt{S{D}^2-H{D}^2}=a\sqrt{3}$. $HE=\frac{1}{2}AO=\frac{a\sqrt{2}}{4}$. Xét $\Delta SHK$: $HK=\frac{HE\cdot HS}{\sqrt{H{E}^2+H{S}^2}}=\frac{a\sqrt{3}}{5}$. Suy ra: $d\left(A,(SBD)\right)=2d\left(H,(SBD)\right)=2HK=\frac{2a\sqrt{3}}{5}$. Vậy : $d\left(A,(SBD)\right)=\frac{2a\sqrt{3}}{5}$. Lưu ý: Thí sinh làm cách khác ra đáp án đúng vẫn cho điểm tối đa.