Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng $3a$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình lập phương cạnh $3a$. a) Đúng: $AC\perp BD$ và $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$ nên $BD\perp (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$, do đó $A^{\prime }C\perp BD$; lại $A^{\prime }C\perp B{B}^{\prime }$ (vì $B{B}^{\prime }\perp (ABCD)$) nên $A^{\prime }C\perp (BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$. b) Đúng: $AC\subset (A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C)$, $AC\perp BD$ với $BD\subset (B{B}^{\prime }{D}^{\prime }D)$ nên hai mặt phẳng vuông góc. c) Sai: $BC\perp (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ nên $BC\perp BA$ và $BC\perp B{A}^{\prime }$; góc nhị diện $[A^{\prime },BC,A]$ là $\widehat{A^{\prime }BA}=45^{\circ }\ne 90^{\circ }$. d) Sai: với tọa độ $A(0,0,0),B(3,0,0),C(3,3,0),A^{\prime }(0,0,3),B^{\prime }(3,0,3)$ thì $\overrightarrow{A^{\prime }B}=(3,0,-3)$, $\overrightarrow{B^{\prime }C}=(0,3,-3)$, $\cos =\frac{9}{3\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\ne \frac{\sqrt{3}}{2}$. Khớp với đáp án mã đề 102: Đ, Đ, S, S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$AC\perp BD$ và $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$ suy ra $BD\perp (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ nên $A^{\prime }C\perp BD$; hơn nữa $A^{\prime }C\perp B{B}^{\prime }$. Vậy $A^{\prime }C\perp (BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$AC\subset (A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C)$, $BD\subset (B{B}^{\prime }{D}^{\prime }D)$ và $AC\perp BD$ nên $(A{A}^{\prime }{C}^{\prime }C)\perp (B{B}^{\prime }{D}^{\prime }D)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $BC\perp (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$ nên $BC\perp BA$, $BC\perp B{A}^{\prime }$. Góc nhị diện $[A^{\prime },BC,A]$ là $\widehat{A^{\prime }BA}=45^{\circ }$, không phải $90^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $\overrightarrow{A^{\prime }B}=(3,0,-3)$, $\overrightarrow{B^{\prime }C}=(0,3,-3)$, cosin góc bằng $\frac{9}{18}=\frac{1}{2}\ne \frac{\sqrt{3}}{2}$.