Cho hình chóp $S.ABCD$ , đáy $ABCD$ là hình bình hành, với E, F là trung điểm của AD, BC.

a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ , $(SAC)$ và $(SBD)$ .

b) Tìm giao tuyến của $(SEF)$ với các mặt phẳng $(SAD),(SBC)$ .

(AI giải đề cho tôi)
Câu 7: Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình bình hành, $E$, $F$ lần lượt là trung điểm của $AD$, $BC$.

a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng:

• Giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$:
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel CD$. Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ đều chứa điểm $S$ (vì $S\in SA\subset (SAB)$, $S\in SD\subset (SCD)$), nên $S$ thuộc giao tuyến.
Vì $AB\parallel CD$ nên $AB\parallel (SCD)$ (đường thẳng $AB$ song song với đường thẳng $CD$ nằm trong $(SCD)$ và $AB\not\subset (SCD)$). Giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng $\Delta$ qua $S$, nằm trong $(SAB)$, và $\Delta \parallel AB\parallel CD$.
Vậy giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng qua $S$ song song với $AB$ (và $CD$).

• Giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$:
Hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ đều chứa điểm $S$, nên $S$ thuộc giao tuyến.
Gọi $O=AC\cap BD$ (tâm hình bình hành, giao điểm hai đường chéo trong mặt đáy). Khi đó $O\in AC\subset (SAC)$ và $O\in BD\subset (SBD)$, tức $O$ cũng thuộc giao tuyến.
Vậy giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$ là đường thẳng $SO$.

b) Tìm giao tuyến của $(SEF)$ với $(SAD)$ và $(SBC)$:
Vì $E\in AD$ nên $E\in (SAD)$; đồng thời $E\in EF\subset (SEF)$, tức $E$ là điểm chung của $(SEF)$ và $(SAD)$.
Tương tự $F\in BC\subset (SBC)$ và $F\in (SEF)$, tức $F$ là điểm chung của $(SEF)$ và $(SBC)$.
Hai mặt phẳng $(SEF)$ và $(SAD)$ đều chứa điểm $S$ và điểm $E$, mà qua hai điểm phân biệt $S$, $E$ chỉ có một đường thẳng $SE$.
Vậy giao tuyến của $(SEF)$ và $(SAD)$ là đường thẳng $SE$.
Tương tự, $(SEF)$ và $(SBC)$ cùng chứa $S$ và $F$, nên giao tuyến của $(SEF)$ và $(SBC)$ là đường thẳng $SF$.

Nhận xét: Vì $E$, $F$ là trung điểm của $AD$, $BC$ và $ABCD$ là hình bình hành nên $EF\parallel AB\parallel CD$; do đó $(SEF)$ cắt $(SAB)$ theo giao tuyến qua $S$ song song với $EF$ (chính là giao tuyến với $(SAB)$ ở câu a), và cắt $(SCD)$ theo giao tuyến qua $S$ song song với $EF$ — hai giao tuyến này trùng nhau, phù hợp với kết quả câu a).