Cho hình chóp $S.ABCD$ đều, có độ dài cạnh đáy bằng $a$, độ dài cạnh bên bằng $2a$. Gọi $h.a$ là khoảng cách từ chân đường cao hình chóp đến một mặt bên. Tính $T=30h^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $O$ là tâm đáy, chân đường cao của hình chóp đều $S.ABCD$ (cạnh đáy $a$, cạnh bên $2a$). Ta có $AC=a\sqrt{2}$ nên $OA=\frac{a\sqrt{2}}{2}$, suy ra $SO=\sqrt{S{A}^2-O{A}^2}=\sqrt{4a^2-\frac{a^2}{2}}=a\sqrt{\frac{7}{2}}$. Gọi $H$ là trung điểm $AB$, thì $OH=\frac{a}{2}$ và $SH=\sqrt{S{A}^2-A{H}^2}=\sqrt{4a^2-\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{15}}{2}$. Vì $AB\perp (SOH)$ nên $(SAB)\perp (SOH)$, khoảng cách từ $O$ đến mặt $(SAB)$ là $h=\frac{SO\cdot OH}{SH}=\frac{a\sqrt{7/2}\cdot a/2}{a\sqrt{15}/2}=\frac{a\sqrt{7}}{\sqrt{30}}$. Vậy $h^2=\frac{7a^2}{30}$ (theo đơn vị $a^2$), do đó $T=30h^2=7$. Kết quả trùng với đáp án nguồn.