Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng $a$, cạnh bên bằng $\sqrt{2}a$. Gọi $F$ là trung điểm của cạnh $SA$.

(AI giải đề cho tôi)
Hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy a, cạnh bên √2a. Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy R = a√2/2, nên chiều cao SO = √(2a² − a²/2) = a√6/2.

a) Đúng. Trong mặt phẳng (SAC), tam giác SAC cân tại S với SA = SC = √2a, AC = a√2, F trung điểm SA. Dùng tọa độ: A(a/2, a/2, 0), C(−a/2, −a/2, 0), D(a/2, −a/2, 0), S(0, 0, a√6/2), F(a/4, a/4, a√6/4). Mặt phẳng (FCD) có vectơ pháp tuyến CD×CF ∝ (0, −√6, 3), phương trình −√6y + 3z = √6a/2. Khoảng cách từ S: d = |3·a√6/2 − √6a/2|/√15 = a√6/√15 = a√10/5. Đúng.

b) Sai. Góc giữa SA và đáy là góc SAO: sin∠SAO = SO/SA = (a√6/2)/(√2a) = √3/2, nên góc bằng 60°, không phải 30°.

c) Sai. V(S.ACD) = (1/3)·(a²/2)·a√6/2 = a³√6/12. Diện tích tam giác SCD: đường cao từ S xuống CD bằng √(2a² − a²/4) = a√7/2, nên S_SCD = a²√7/4. Khoảng cách từ A đến (SCD): d = 3V/S_SCD = a√(6/7). Vì F trung điểm SA nên d(F,(SCD)) = a√(6/7)/2. Vậy V(S.FCD) = V(F.SCD) = (1/3)·(a²√7/4)·(a√(6/7)/2) = a³√6/24 ≠ a³√3/24. Sai.

d) Đúng. AC có phương (−1, −1, 0), SB có phương (−1, 1, −√6) (sau khi rút gọn). Vectơ pháp tuyến chung n = (−1,−1,0)×(−1,1,−√6) = (√6, −√6, −2), |n| = 4. Lấy vectơ AS = (−a/2, −a/2, a√6/2). Khoảng cách d(AC, SB) = |AS·n|/|n| = |−a√6/2 + a√6/2 − a√6|/4 = a√6/4. Đúng.

Kết luận: a đúng, b sai, c sai, d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thiết lập tọa độ, mặt phẳng (FCD) có pháp tuyến (0, −√6, 3), d(S,(FCD)) = a√6/√15 = a√10/5.
b) (AI giải đề cho tôi)
sin góc giữa SA và đáy = SO/SA = (a√6/2)/(√2a) = √3/2, góc bằng 60° chứ không phải 30°.
c) (AI giải đề cho tôi)
d(F,(SCD)) = (1/2)d(A,(SCD)) = a√(6/7)/2, S_SCD = a²√7/4, nên V(S.FCD) = a³√6/24 ≠ a³√3/24.
d) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến chung n = (√6, −√6, −2), |n| = 4, d(AC,SB) = |AS·n|/4 = a√6/4.