Cho hình chữ nhật $ABCD$ có $AB=3;AD=4$. Gọi $M$ là điểm thỏa mãn điều kiện $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}$. Tìm giá trị $k$ để hai đường thẳng $AC$ và $DM$ vuông góc.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục tọa độ: $A(0;0)$, $B(3;0)$, $D(0;4)$, $C(3;4)$. Vì $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}$ nên $M(3k;0)$. Ta có $\overrightarrow{AC}=(3;4)$, $\overrightarrow{DM}=(3k-0;0-4)=(3k;-4)$. Hai đường thẳng $AC$ và $DM$ vuông góc khi và chỉ khi $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{DM}=0$, tức $3\cdot 3k+4\cdot (-4)=9k-16=0$, suy ra $k=\frac{16}{9}$. Vậy $k=\frac{16}{9}$ (khi đó $M$ nằm trên tia $AB$, ngoài đoạn $AB$ vì $\frac{16}{9}>1$).