Cho hình hộp $ABCD\cdot A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Gọi $G_1,G_2$ là trọng tâm của các tam giác $A^{\prime }BD,B^{\prime }{D}^{\prime }C$. Tỉ số $\frac{G_1{G}_2}{A{C}^{\prime }}=\frac{a}{b}$, với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính $a+b$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn A làm gốc, đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{b},\overrightarrow{AD}=\vec{d},\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{t}$. Khi đó $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\vec{b}+\vec{d}+\vec{t}$. Trọng tâm $G_1$ của tam giác $A^{\prime }BD$: $\overrightarrow{A{G}_1}=\frac{\vec{t}+\vec{b}+\vec{d}}{3}$. Trọng tâm $G_2$ của tam giác $B^{\prime }{D}^{\prime }C$: với $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=\vec{b}+\vec{t},\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=\vec{d}+\vec{t},\overrightarrow{AC}=\vec{b}+\vec{d}$, ta có $\overrightarrow{A{G}_2}=\frac{(\vec{b}+\vec{t})+(\vec{d}+\vec{t})+(\vec{b}+\vec{d})}{3}=\frac{2\vec{b}+2\vec{d}+2\vec{t}}{3}$. Suy ra $\overrightarrow{G_1{G}_2}=\overrightarrow{A{G}_2}-\overrightarrow{A{G}_1}=\frac{\vec{b}+\vec{d}+\vec{t}}{3}=\frac{1}{3}\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$. Vậy $\frac{G_1{G}_2}{A{C}^{\prime }}=\frac{1}{3}$, tức $a=1,b=3$ (phân số tối giản), nên $a+b=4$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (4).