Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $\widehat{BAD}=\widehat{BA{A}^{\prime }}=\widehat{DA{A}^{\prime }}=60^{\circ }$; $A{A}^{\prime }=1$; $AB.AD=3$. Các điểm $M;N$ theo thứ tự thuộc đường thẳng $A^{\prime }C$ và $C^{\prime }D$ sao cho $MN$ song song $B{D}^{\prime }$. Khi độ dài đoạn $MN$ đạt giá trị nhỏ nhất, tính giá trị biểu thức $A{B}^2+A{D}^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục gốc $A$ với $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$, $\vec{v}=\overrightarrow{AD}$, $\vec{w}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$; ba vectơ đôi một tạo góc $60^{\circ }$, $|\vec{w}|=1$, đặt $AB=x$, $AD=y$ với $xy=3$.

Khi đó $C=u+v$, $A^{\prime }=w$, $C^{\prime }=u+v+w$, $D^{\prime }=v+w$.

Điểm $M\in A^{\prime }C$: $\overrightarrow{AM}=tu+tv+(1-t)w$. Điểm $N\in C^{\prime }D$: $\overrightarrow{AN}=(1-s)u+v+(1-s)w$.

Suy ra $\overrightarrow{MN}=(1-s-t)u+(1-t)v+(t-s)w$.

Vì $MN\parallel B{D}^{\prime }$ nên $\overrightarrow{MN}=k\overrightarrow{B{D}^{\prime }}=k(-u+v+w)$. So sánh hệ số:
$$1-s-t=-k,1-t=k,t-s=k.$$
Giải được $t=1-k$, $s=1-2k$, thay vào phương trình đầu: $3k-1=-k\Rightarrow k=\frac{1}{4}$ (với $t=\frac{3}{4}$, $s=\frac{1}{2}$, đều thỏa mãn).

Vậy $MN=\frac{1}{4}B{D}^{\prime }$ và $M,N$ xác định duy nhất, do đó $MN$ nhỏ nhất khi $B{D}^{\prime }$ nhỏ nhất với điều kiện $xy=3$.

Tính $\overrightarrow{B{D}^{\prime }}=v+w-u$:
$$B{D}^{\prime 2}=x^2+y^2+1-2u\cdot v-2u\cdot w+2v\cdot w=x^2+y^2+1-xy-x+y=x^2+y^2+y-x-2.$$

Thay $y=\frac{3}{x}$: $f(x)=x^2+\frac{9}{x^2}+\frac{3}{x}-x-2$.
$f^{\prime }(x)=2x-\frac{18}{x^3}-\frac{3}{x^2}-1=0\iff 2x^4-x^3-3x-18=0$. Thử $x=2$: $32-8-6-18=0$, vậy $x=2$ là nghiệm. Chia đa thức cho $(x-2)$ được $2x^3+3x^2+6x+9$ có hệ số dương nên không có nghiệm dương khác; hơn nữa $f^{\prime \prime }(x)=2+\frac{54}{x^4}+\frac{6}{x^3}>0$ nên $f$ lồi, $x=2$ là điểm đạt giá trị nhỏ nhất duy nhất: $AB=2$, $AD=\frac{3}{2}$.

Khi đó $A{B}^2+A{D}^2=4+\frac{9}{4}=\frac{25}{4}$. (Kiểm tra: $f(1)=10$, $f(3)=6$, $f(2)=3,75$ — nhỏ nhất.)