Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có tất cả các mặt bên và mặt đáy đều là hình vuông cạnh $a$. Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau?

(AI giải đề cho tôi)
Hình hộp là lập phương cạnh $a$. a) Trong hình vuông $ABCD$ ta có $AC\perp BD$, mà $B^{\prime }{D}^{\prime }\parallel BD$ nên $AC\perp B^{\prime }{D}^{\prime }$: đúng. b) Lập phương có $D{D}^{\prime }\perp (ABC)$: đúng. c) $B{D}^{\prime }$ là đường chéo khối lập phương nên $B{D}^{\prime }=a\sqrt{3}\ne \frac{a\sqrt{3}}{2}$: sai. d) Tọa hóa: $B(a,0,0),D(0,a,0),C(a,a,0),D^{\prime }(0,a,a)$; $\overrightarrow{BD}=(-a,a,0)$, $\overrightarrow{C{D}^{\prime }}=(-a,0,a)$, $\cos =\frac{a^2}{a\sqrt{2}\cdot a\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$ nên góc bằng $60^{\circ }$: đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trong hình vuông $ABCD$ có $AC\perp BD$, mà $B^{\prime }{D}^{\prime }\parallel BD$ nên $AC\perp B^{\prime }{D}^{\prime }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hình hộp có tất cả các mặt là hình vuông nên là lập phương, do đó $D{D}^{\prime }\perp (ABC)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$B{D}^{\prime }$ là đường chéo khối: $B{D}^{\prime }=\sqrt{a^2+a^2+a^2}=a\sqrt{3}$, không bằng $\frac{a\sqrt{3}}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ $B(a,0,0),D(0,a,0),C(a,a,0),D^{\prime }(0,a,a)$: $\overrightarrow{BD}=(-a,a,0)$, $\overrightarrow{C{D}^{\prime }}=(-a,0,a)$, $\cos (\overrightarrow{BD},\overrightarrow{C{D}^{\prime }})=\frac{a^2}{a\sqrt{2}\cdot a\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$, suy ra góc bằng $60^{\circ }$.