Hàm số nào sau đây nghịch biến trên $\mathbb{R}$ ?

Một hộp đựng 20 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 20. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong hộp. Gọi $X$ là biến cố: “Rút được tấm thẻ ghi số chẵn lớn hơn 9”. Gọi $Y$ là biến cố: “Rút được tấm thẻ ghi số lớn hơn 8 và nhỏ hơn 15”. Khẳng định nào sau đây sai?

Tập nghiệm của bất phương trình $2^{x-3}>8$ là

Hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$, $SO\perp (ABCD)$ (tham khảo hình vẽ bên dưới). Khẳng định nào sau đây là sai?

Phương trình ${\log }_2(x+1)=2$ có nghiệm là

Hai xạ thủ X, Y mỗi người bắn 1 viên đạn vào một mục tiêu. Gọi A là biến cố: “Xạ thủ X bắn trúng”, B là biến cố: “Xạ thủ Y bắn trúng”. Nội dung của biến cố $A\cup B$ là:

Cho hình tứ diện $ABCD$ biết $AB\perp (BCD)$, $△BCD$ vuông tại C (tham khảo hình vẽ bên dưới). Khẳng định nào sau đây là sai?

Cho hàm số $f(x)={\log }_3(9-2x)$. Các khẳng định sau đúng hay sai?

Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có tất cả các mặt bên và mặt đáy đều là hình vuông cạnh $a$. Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau?

Cho ${\log }_{2}a=3$ và ${\log }_{2}b=-4$. Tính giá trị của biểu thức ${\log }_2\left(a^{-2}{b}^3\right)$.

Một người gửi 300 triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất 8\% / năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ mỗi năm số tiền lãi sẽ được nhập vào gốc để tính lãi cho năm tiếp theo. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu năm người đó sẽ nhận được số tiền nhiều hơn 500 triệu đồng bao gồm cả gốc và lãi ? Giả định trong suốt thời gian gửi, lãi suất không đổi và người đó không rút tiền ra.

Ba số ${\log }_2(8x)$ ; ${\left({\log }_{2}x\right)}^2$ ; ${\log }_4(2x)$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Tính tổng tất cả các giá trị của $x$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $AC$ và $BD$. Biết $AB=CD=2a$ ; $MN=a\sqrt{3}$. Tính cosin góc giữa $AB$ và $CD$?

Bài 1 (2 điểm).

a) Giải phương trình $5^{x^2-x+7}=125^{2x-1}$.

b) Giải bất phương trình sau: ${\log }_2(x-3)+{\log }_2(x-2)\le 1$

c) Để quảng bá cho sản phẩm X, một công ty dự định tổ chức quảng cáo theo hình thức quảng cáo trên truyền hình. Nghiên cứu của công ty cho thấy: nếu sau $n$ lần quảng cáo được phát thì tỉ lệ người xem quảng cáo đó mua sản phẩm A tuân theo công thức $P(n)=\frac{1}{1+49e^{-0,015n}}$. Hỏi cần phát ít nhất bao nhiêu lần quảng cáo để tỉ lệ người xem mua sản phẩm đạt trên 40\%?

d) Cho các số thực $x,y$ thỏa mãn ${\log }_{x^2+y^2+2}\left(2x-4y+3\right)\ge 1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P=3x+4y$.

Bài 2 (1 điểm). Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông, với $H$ là trung điểm đoạn $AB$, $SH\perp (ABCD)$.

a) Chứng minh: $BC\perp (SAB)$.

b) Gọi $K$ là trung điểm đoạn $BC$. Chứng minh: $DK\perp SC$.