Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Gọi $G$ và $G^{\prime }$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $\Delta BD{A}^{\prime }$ và $\Delta C{B}^{\prime }{D}^{\prime }$. Khi đó:

Mệnh đề	Đúng	Sai
a) $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}$
b) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}+\overrightarrow{C^{\prime }{A}^{\prime }}=\vec{0}$
c) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=4\overrightarrow{AG}$
d) Biết $\overrightarrow{B^{\prime }{G}^{\prime }}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AD}+k\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$, khi đó $m+n+k=1$

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ cơ sở $\vec{a}=\overrightarrow{AB},\vec{b}=\overrightarrow{AD},\vec{c}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$.

a) Theo tính chất ba điểm: $\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{AB}$ luôn đúng với mọi vị trí của $G$. → Đúng.

b) $\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}+\overrightarrow{C^{\prime }{A}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}+\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}$. Vì $\overrightarrow{A^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$, tổng bằng $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=2(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})=2\overrightarrow{AC}\ne \vec{0}$. → Sai.

c) $G$ là trọng tâm tam giác $BD{A}^{\prime }$ nên $\overrightarrow{AG}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}}{3}$, suy ra $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=3\overrightarrow{AG}\ne 4\overrightarrow{AG}$. → Sai.

d) $G^{\prime }$ là trọng tâm tam giác $C{B}^{\prime }{D}^{\prime }$ nên $\overrightarrow{B^{\prime }{G}^{\prime }}=\frac{\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}+\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}}{3}$. Ta có $\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AD}$ và $\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$. Vậy $\overrightarrow{B^{\prime }{G}^{\prime }}=\frac{2\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}}{3}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}+0\cdot \overrightarrow{A{A}^{\prime }}$, tức $m=-\frac{1}{3},n=\frac{2}{3},k=0$, nên $m+n+k=\frac{1}{3}\ne 1$. → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất ba điểm, $\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{AB}$ luôn đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{D^{\prime }{A}^{\prime }}+\overrightarrow{C^{\prime }{A}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})=2\overrightarrow{AC}\ne \vec{0}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $G$ là trọng tâm tam giác $BD{A}^{\prime }$ nên $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=3\overrightarrow{AG}$, không phải $4\overrightarrow{AG}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{B^{\prime }{G}^{\prime }}=\frac{\overrightarrow{B^{\prime }{C}^{\prime }}+\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}}{3}=\frac{\overrightarrow{AD}+(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB})}{3}=-\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$, nên $m+n+k=\frac{1}{3}\ne 1$.