Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Gọi $G$ và $G^{\prime }$ lần lượt là trọng tâm của hai tam giác $B^{\prime }{D}^{\prime }A$ và $BD{C}^{\prime }$. Khi đó $kG{G}^{\prime }=A^{\prime }C$. Tìm $k$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn A làm gốc: đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{b},\overrightarrow{AD}=\vec{d},\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{a}$. Khi đó $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=\vec{a}+\vec{b}$, $\overrightarrow{A{D}^{\prime }}=\vec{a}+\vec{d}$, $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\vec{a}+\vec{b}+\vec{d}$.

Trọng tâm $G$ của tam giác $B^{\prime }{D}^{\prime }A$:
$$\overrightarrow{AG}=\frac{(\vec{a}+\vec{b})+(\vec{a}+\vec{d})+\vec{0}}{3}=\frac{2\vec{a}+\vec{b}+\vec{d}}{3}.$$

Trọng tâm $G^{\prime }$ của tam giác $BD{C}^{\prime }$:
$$\overrightarrow{A{G}^{\prime }}=\frac{\vec{b}+\vec{d}+(\vec{a}+\vec{b}+\vec{d})}{3}=\frac{\vec{a}+2\vec{b}+2\vec{d}}{3}.$$

Suy ra
$$\overrightarrow{G{G}^{\prime }}=\overrightarrow{A{G}^{\prime }}-\overrightarrow{AG}=\frac{-\vec{a}+\vec{b}+\vec{d}}{3}=\frac{1}{3}(\vec{b}+\vec{d}-\vec{a}).$$

Mặt khác $\overrightarrow{A^{\prime }C}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(\vec{b}+\vec{d})-\vec{a}=\vec{b}+\vec{d}-\vec{a}$. Vậy $\overrightarrow{G{G}^{\prime }}=\frac{1}{3}\overrightarrow{A^{\prime }C}$, tức $G{G}^{\prime }=\frac{1}{3}{A}^{\prime }C$ và $k=\frac{1}{3}$.