Tìm $m$ để hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{3-x}{\sqrt{x+1}-2}& \text{khi }x\ne 3\\ m& \text{khi }x=3\end{array}$ liên tục tại điểm $x_0=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số liên tục tại $x_0=3$ khi và chỉ khi $\underset{x\to 3}{\lim }f(x)=f(3)=m$.

Tính giới hạn (với $x\ne 3$, nhân liên hợp):
$$\underset{x\to 3}{\lim }\frac{3-x}{\sqrt{x+1}-2}=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{(3-x)\left(\sqrt{x+1}+2\right)}{(\sqrt{x+1}-2)\left(\sqrt{x+1}+2\right)}=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{(3-x)\left(\sqrt{x+1}+2\right)}{x+1-4}$$
$$=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{-(x-3)\left(\sqrt{x+1}+2\right)}{x-3}=\underset{x\to 3}{\lim }-\left(\sqrt{x+1}+2\right)=-\left(\sqrt{4}+2\right)=-4.$$

Vậy để hàm số liên tục tại $x_0=3$ thì $m=-4$.