Cho hàm số $f(x)=\frac{\sqrt{3x^2+1}}{x+1}$ và $g(x)=\frac{2x}{x+1}$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: ${\lim }_{x\to 1}f(x)=\frac{\sqrt{4}}{2}=1\ne 2$; ${\lim }_{x\to -2}g(x)=\frac{-4}{-1}=4\ne -2$. b) Đúng: ${\lim }_{x\to +\infty }g(x)=2$; ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=\lim \frac{x\sqrt{3+1/x^2}}{x+1}=\sqrt{3}$. c) Sai: khi $x\to -\infty$, $\sqrt{3x^2+1}=|x|\sqrt{3+1/x^2}\approx -x\sqrt{3}$, nên $\lim f(x)=-\sqrt{3}$, do đó $\lim [f(x)-g(x)]=-\sqrt{3}-2\ne \sqrt{3}-2$. d) Sai: $f(x)-g(x)=\frac{\sqrt{3x^2+1}-2x}{x+1}$; tại $x=-1$ tử số bằng $2+2=4\ne 0$ nên giới hạn bằng $\infty$ (không tồn tại hữu hạn), không thể bằng $\frac{1}{2}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to 1}f(x)=\frac{\sqrt{4}}{2}=1\ne 2$ và ${\lim }_{x\to -2}g(x)=\frac{-4}{-1}=4\ne -2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\lim }_{x\to +\infty }g(x)=2$; ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=\sqrt{3}$ vì $\sqrt{3x^2+1}\approx x\sqrt{3}$ khi $x\to +\infty$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to -\infty$, $\sqrt{3x^2+1}=|x|\sqrt{3+1/x^2}\approx -x\sqrt{3}$ nên $\lim f(x)=-\sqrt{3}$, suy ra $\lim [f(x)-g(x)]=-\sqrt{3}-2\ne \sqrt{3}-2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)-g(x)=\frac{\sqrt{3x^2+1}-2x}{x+1}$; tại $x=-1$ tử số bằng $4\ne 0$ nên giới hạn vô cực, không bằng $\frac{1}{2}$.