Cho hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Gọi $M,N$ lần lượt là trọng tâm của các tam giác $A^{\prime }BD$, $C{B}^{\prime }{D}^{\prime }$. Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục: $A$ gốc, $\overrightarrow{AB}=\vec{u},\overrightarrow{AD}=\vec{v},\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{w}$ (độc lập tuyến tính). Khi đó $B^{\prime }=\vec{u}+\vec{w}$, $D^{\prime }=\vec{v}+\vec{w}$, $C=\vec{u}+\vec{v}$, $M=\frac{\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}}{3}$, $N=\frac{C+B^{\prime }+D^{\prime }}{3}=\frac{2(\vec{u}+\vec{v}+\vec{w})}{3}$.

a) $\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}=\vec{v}-\vec{u}$ còn $\overrightarrow{AC}=\vec{u}+\vec{v}$: hai vectơ này không cùng phương (hệ số không tồn tại), nên $AC$ không song song $B^{\prime }{D}^{\prime }$. Sai.

b) Mặt phẳng $(M{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ qua $B^{\prime }(1,0,1),D^{\prime }(0,1,1),M(1/3,1/3,1/3)$ có phương trình $-2x-2y+z+1=0$ (kiểm tra cả 3 điểm thỏa). Điểm trên $AC$: $(t,t,0)$ thay vào được $-4t+1=0\Rightarrow t=1/4$, tức $AC$ cắt mặt phẳng tại điểm $(1/4,1/4,0)$, không song song. Sai.

c) $\overrightarrow{A^{\prime }B}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{u}-\vec{w}=\overrightarrow{D^{\prime }C}$ nên $A^{\prime }B\parallel D^{\prime }C$; $\overrightarrow{A^{\prime }D}=\vec{v}-\vec{w}=\overrightarrow{B^{\prime }C}$ nên $A^{\prime }D\parallel B^{\prime }C$. Hai đường thẳng cắt nhau $A^{\prime }B,A^{\prime }D$ của $(A^{\prime }BD)$ lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau $D^{\prime }C,B^{\prime }C$ của $(C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$, nên hai mặt phẳng song song. Đúng.

d) $M=\frac{1}{3}(\vec{u}+\vec{v}+\vec{w})$ và $N=\frac{2}{3}(\vec{u}+\vec{v}+\vec{w})$ nên $A,M,N$ thẳng hàng (cùng phương với đường chéo hình hộp $AO$ với $O$ tâm hình hộp). Nhưng $C=\vec{u}+\vec{v}$ không thuộc đường thẳng này (so sánh hệ số của $\vec{w}$: $C$ có hệ số $0\ne 1/3$). Vậy bốn điểm không thẳng hàng. Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$ không cùng phương với $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$, nên $AC$ không song song $B^{\prime }{D}^{\prime }$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với tọa độ $A(0,0,0),B^{\prime }(1,0,1),D^{\prime }(0,1,1),M(1/3,1/3,1/3)$, mặt phẳng $(M{B}^{\prime }{D}^{\prime })$: $-2x-2y+z+1=0$; đường $AC$: $(t,t,0)$ cắt mặt phẳng tại $t=1/4$, nên $AC$ cắt (không song song) mặt phẳng.
c) (AI giải đề cho tôi)
$A^{\prime }B\parallel D^{\prime }C$ và $A^{\prime }D\parallel B^{\prime }C$ (cùng vectơ chỉ phương), hai đường thẳng cắt nhau từng đôi một song song nên $(A^{\prime }BD)\parallel (C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$M=\frac{1}{3}(\vec{u}+\vec{v}+\vec{w})$, $N=\frac{2}{3}(\vec{u}+\vec{v}+\vec{w})$ nên $A,M,N$ thẳng hàng, nhưng $C=\vec{u}+\vec{v}$ không thuộc đường thẳng đó; bốn điểm không thẳng hàng.