Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AB=a\sqrt{2},BC=a,A{A}^{\prime }=a\sqrt{3}$. Gọi $\phi$ là góc giữa đường thẳng $A{C}^{\prime }$ và mặt phẳng $(ABCD)$. Khi đó giá trị của $\cos \phi$ bằng bao nhiêu? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

(AI giải đề cho tôi)
Hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AB=a\sqrt{2}$, $BC=a$, $A{A}^{\prime }=a\sqrt{3}$. Hình chiếu của $A{C}^{\prime }$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ là $AC$, nên góc giữa $A{C}^{\prime }$ và $(ABCD)$ là $\phi =\widehat{C^{\prime }AC}$.

Tam giác $ABC$ vuông tại $B$: $AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{2a^2+a^2}=a\sqrt{3}$.

Đường chéo hình hộp: $A{C}^{\prime }=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2+A{A}^{\prime 2}}=\sqrt{2a^2+a^2+3a^2}=a\sqrt{6}$.

Tam giác $AC{C}^{\prime }$ vuông tại $C$ (vì $C{C}^{\prime }\perp (ABCD)$):
$$\cos \phi =\frac{AC}{A{C}^{\prime }}=\frac{a\sqrt{3}}{a\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0,71.$$

Kết quả khớp với đáp án nguồn 0,71.