Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có $AB=2a,AD=3a,A^{\prime }A=4a$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục $A(0;0;0)$, $B(2a;0;0)$, $D(0;3a;0)$, $A^{\prime }(0;0;4a)$; suy ra $C(2a;3a;0)$, $D^{\prime }(0;3a;4a)$, $C^{\prime }(2a;3a;4a)$. a) Theo quy tắc hình hộp, $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=(2a;3a;4a)=\overrightarrow{A{C}^{\prime }}$ → đúng. b) Trọng tâm tam giác $D^{\prime }DC$: $G=\left(\frac{2a}{3};3a;\frac{4a}{3}\right)$, $\overrightarrow{AG}=\left(\frac{2a}{3};3a;\frac{4a}{3}\right)$, $\overrightarrow{DB}=(2a;-3a;0)$, tích vô hướng $=\frac{4a^2}{3}-9a^2=-\frac{23}{3}{a}^2$ → đúng. c) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{C{C}^{\prime }}=(2a;3a;4a)$, độ dài $=a\sqrt{4+9+16}=a\sqrt{29}$ → đúng. d) $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$ nên $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{AD}=0\ne 12a^2$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Quy tắc hình hộp: tổng ba vectơ cạnh từ $A$ bằng $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(2a;3a;4a)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$G=\left(\frac{2a}{3};3a;\frac{4a}{3}\right)$, $\overrightarrow{AG}\cdot \overrightarrow{DB}=\frac{4a^2}{3}-9a^2=-\frac{23}{3}{a}^2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tổng vectơ là $(2a;3a;4a)$, độ dài $a\sqrt{29}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{A{A}^{\prime }}\perp \overrightarrow{AD}$ nên tích vô hướng bằng $0$.