Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $A^{\prime }A=A^{\prime }B=A^{\prime }C=4$, đáy $ABC$ là tam giác cân tại C có $CA=CB=3$, $AB=2\sqrt{3}$. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $C{C}^{\prime }$ *(kết quả làm tròn đến hai chữ số thập phân)*.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $C=(0;0;0)$, trung điểm $M$ của $AB$ với $CM=\sqrt{9-3}=\sqrt{6}$, nên $A=(\sqrt{6};\sqrt{3};0)$, $B=(\sqrt{6};-\sqrt{3};0)$. Gọi $A^{\prime }=(x;0;z)$ (do $A^{\prime }B=A^{\prime }C$ nên $y=0$). Từ $A^{\prime }C=A^{\prime }A=4$: $x^2+z^2=16$ và $(x-\sqrt{6}{)}^2+3+z^2=16$, suy ra $-2\sqrt{6}x+9=0\Rightarrow x=\frac{3\sqrt{6}}{4}$, $z^2=16-\frac{54}{16}=\frac{101}{8}$, $z=\sqrt{12,625}$. Vậy $\overrightarrow{C{C}^{\prime }}\parallel \overrightarrow{A{A}^{\prime }}=(-\frac{\sqrt{6}}{4};0;\sqrt{12,625})$ (kiểm tra $|\overrightarrow{A{A}^{\prime }}|=4$ ✓). Đường thẳng $AB$: qua $A$, hướng $\vec{u}=(0;1;0)$. Lấy $\vec{n}=\vec{u}\times \vec{v}=(\sqrt{12,625};0;\frac{\sqrt{6}}{4})$, $|\vec{n}|=\sqrt{12,625+0,375}=\sqrt{13}$. Với $\vec{w}=\overrightarrow{AC}=(\sqrt{6};\sqrt{3};0)$: $d(AB,C{C}^{\prime })=\frac{|\vec{w}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{\sqrt{6}\cdot \sqrt{12,625}}{\sqrt{13}}=\sqrt{\frac{303}{52}}\approx 2,4138\approx 2,41$, khớp đáp án nguồn.