Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi $\frac{1}{4}$ cung tròn của đường tròn tâm $O(0;0)$ và bán kính bằng $4$, parabol $(P)$ có tọa độ đỉnh $I(2;2)$ và đi qua gốc tọa độ $O$, các đường thẳng $x=0$, $x=4$ như hình vẽ bên dưới

(AI giải đề cho tôi)
b) Parabol đỉnh I(2;2): $y=a(x-2{)}^2+2$; qua $O$ suy ra $4a+2=0\Rightarrow a=-\frac{1}{2}$, nên $y=-\frac{1}{2}{x}^2+2x$. Đúng.
c) Cung tròn tâm $O$ bán kính 4 (phần trên trục Ox): $y=\sqrt{16-x^2}$, $0\le x\le 4$. Đúng.
a) Thể tích quay quanh Ox: $V=\pi {\int }_0^4\left[(16-x^2)-{\left(-\frac{1}{2}{x}^2+2x\right)}^2\right]dx=\pi {\int }_0^4\left(16-5x^2+2x^3-\frac{x^4}{4}\right)dx$. Tích phân: $64-\frac{320}{3}+128-\frac{256}{5}=\frac{2880-1600-768}{15}=\frac{512}{15}$. Vậy $V=\frac{512}{15}\pi$. Đúng.
d) Diện tích: $S={\int }_0^4\left(16-x^2+\frac{x^2}{2}-2x\right)dx={\int }_0^4\left(16-\frac{x^2}{2}-2x\right)dx=64-\frac{32}{3}-16=48-\frac{32}{3}=\frac{112}{3}\approx 37,33$, khác $16\left(\pi -\frac{1}{3}\right)\approx 44,9$. Sai. Khớp đáp án nguồn: a Đ, b Đ, c Đ, d S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$V=\pi {\int }_0^4[(16-x^2)-(-\frac{1}{2}{x}^2+2x{)}^2]dx=\frac{512}{15}\pi$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đỉnh (2;2) và qua O cho $a=-\frac{1}{2}$: $y=-\frac{1}{2}{x}^2+2x$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Cung tròn tâm O bán kính 4 phía trên: $y=\sqrt{16-x^2}$, $0\le x\le 4$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$S={\int }_0^4(16-\frac{x^2}{2}-2x)dx=\frac{112}{3}\ne 16(\pi -\frac{1}{3})$.