Cho hình lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm $BC$ và $C{C}^{\prime }$. Đường thẳng $AB$ cắt mặt phẳng $(A^{\prime }MN)$ tại $P$. Tỉ số $\frac{PA}{AB}$ có giá trị bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $C(0;1;0)$, $A^{\prime }(0;0;1)$, $C^{\prime }(0;1;1)$. Khi đó $M\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2};0\right)$, $N\left(0;1;\frac{1}{2}\right)$. Mặt phẳng $(A^{\prime }MN)$ đi qua $A^{\prime }$ với hai vectơ chỉ phương $\vec{u}=\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2};-1\right)$, $\vec{v}=(0;1;-\frac{1}{2})$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=\vec{u}\times \vec{v}=\left(\frac{3}{4};\frac{1}{4};\frac{1}{2}\right)$, tức phương trình $3x+y+2z=2$. Điểm $P$ trên đường thẳng $AB$ có dạng $(t;0;0)$, thay vào: $3t=2\Rightarrow t=\frac{2}{3}$. Vậy $\frac{PA}{AB}=\frac{2}{3}\approx 0,67$, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 16: 0,67).