Cho lăng trụ tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$. Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }$. Khi đó: Các mệnh đề sau đúng hay sai?

(AI giải đề cho tôi)
Xét lăng trụ tam giác $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, $M$ trung điểm $BC$, $N$ trung điểm $B^{\prime }{C}^{\prime }$.

a) ĐÚNG: Hai đáy của lăng trụ song song nên $(ABC)//(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$.

b) SAI: $MN$ nối trung điểm của $BC$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }$, hai đoạn này nằm trên hai cạnh bên tương ứng của lăng trụ nên $MN//B{B}^{\prime }$ (tính chất đường trung bình của hình thang/lăng trụ), do đó $MN$ không song song với $AB$ (trường hợp riêng $AB//B^{\prime }{C}^{\prime }$ thì $MN$ vẫn chỉ song song $B{B}^{\prime }$, không song song $AB$ vì $MN$ không nằm trong $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$... thực chất $MN$ chéo lên theo phương cạnh bên).

c) SAI: Vì $MN//B{B}^{\prime }$ và $A{A}^{\prime }//B{B}^{\prime }$ nên $MN//A{A}^{\prime }$. Mặt phẳng $(AMN)$ đi qua $A$ và chứa phương $A{A}^{\prime }$ (qua vectơ $MN$), nên $A^{\prime }=A+\overrightarrow{A{A}^{\prime }}$ cũng thuộc $(AMN)$, tức $A{A}^{\prime }\subset (AMN)$, không phải song song.

d) ĐÚNG: Vì $MN//A{A}^{\prime }$ nên bốn điểm $A,A^{\prime },M,N$ đồng phẳng; trong mặt phẳng này hai đường thẳng $AN$ và $A^{\prime }M$ cắt nhau tại $I$. Ta có $AN\subset (A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ (vì $A,N\in (A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$) và $A^{\prime }M\subset (A^{\prime }BC)$ (vì $A^{\prime },M\in (A^{\prime }BC)$), suy ra $I$ thuộc cả hai mặt phẳng. Vậy giao tuyến của $(A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ và $(A^{\prime }BC)$ là đường thẳng đi qua $I$ — giao điểm của $AN$ và $A^{\prime }M$.

Kết quả khớp đáp án mã đề 1102: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.