Cho hình lăng trụ đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có cạnh đáy bằng $2a$, cạnh bên bằng $a$. Tính góc giữa hai mặt phẳng $(A{B}^{\prime }{C}^{\prime }C)$ và $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A^{\prime }=(0,0,0)$, $B^{\prime }=(2a,0,0)$, $C^{\prime }=(a,\sqrt{3}a,0)$ (đáy đều cạnh $2a$), cạnh bên $a$ nên $A=(0,0,a)$, $C=(a,\sqrt{3}a,a)$. Mặt $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ là mặt đáy với pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(0,0,1)$. Mặt $(A{B}^{\prime }{C}^{\prime }C)$ đi qua $A,B^{\prime },C^{\prime }$: $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(2a,0,-a)$, $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(a,\sqrt{3}a,-a)$, pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=\overrightarrow{A{B}^{\prime }}\times \overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(\sqrt{3}{a}^2,a,2\sqrt{3}{a}^2)$. Khi đó $\cos \theta =\frac{|2\sqrt{3}{a}^2|}{\sqrt{3a^4+a^2+12a^4}\cdot 1}=\frac{2\sqrt{3}{a}^2}{4a^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, suy ra góc giữa hai mặt phẳng bằng $30^{\circ }$.