Cho hình lăng trụ đều $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có cạnh đáy bằng $2a$, cạnh bên bằng $a$. Tính góc giữa hai mặt phẳng $(A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ và $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$.

(AI giải đề cho tôi)
Gắn tọa độ: $A^{\prime }=(0,0,0)$, $B^{\prime }=(2a,0,0)$, $C^{\prime }=(a,\sqrt{3}a,0)$, $A=(0,0,a)$. Mặt $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ có pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(0,0,1)$. Mặt $(A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$: $\overrightarrow{A{B}^{\prime }}=(2a,0,-a)$, $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=(a,\sqrt{3}a,-a)$, tích có hướng $\overrightarrow{n_2}=(\sqrt{3},1,2\sqrt{3})$ (đã chia $a^2$). Khi đó $\cos ({\vec{n}}_1,{\vec{n}}_2)=\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3+1+12}}=\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, suy ra góc giữa hai mặt phẳng bằng $30^{\circ }$. Kiểm tra lại: ${\vec{n}}_2\cdot \overrightarrow{A{B}^{\prime }}=2\sqrt{3}-2\sqrt{3}=0$, ${\vec{n}}_2\cdot \overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\sqrt{3}+\sqrt{3}-2\sqrt{3}=0$, đúng pháp tuyến. Kết quả khớp đáp án D.