Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A_1{B}_1{C}_1$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A$, $AB=AC=a$ và cạnh bên $A{A}_1=a\sqrt{2}$ (tham khảo hình vẽ)

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ $A(0;0;0)$, $B(a;0;0)$, $C(0;a;0)$, $A_1(0;0;a\sqrt{2})$, $B_1(a;0;a\sqrt{2})$, $C_1(0;a;a\sqrt{2})$ với $h=A{A}_1=a\sqrt{2}$.

a) Mặt phẳng $(A_{1}B{C}_1)$: $\overrightarrow{A_{1}B}=(a;0;-h)$, $\overrightarrow{A_1{C}_1}=(0;a;0)$ nên $\vec{n}=\overrightarrow{A_{1}B}\times \overrightarrow{A_1{C}_1}=(ah;0;a^2)$, phương trình $hx+az=ah$. Khoảng cách từ $A$: $d=\frac{ah}{\sqrt{h^2+a^2}}=\frac{a\sqrt{2}\cdot a}{a\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}\ne \frac{a\sqrt{6}}{6}$. → Sai.

b) $M\in A_1{C}_1$, $N\in B{C}_1$ đều nằm trong $(A_{1}B{C}_1)$ nên $V_{A.A_{1}BNM}=\frac{1}{3}{S}_{A_{1}BNM}\cdot \frac{a\sqrt{6}}{3}$. Đặt $M=A_1+s\overrightarrow{A_1{C}_1}$, $N=B+t\overrightarrow{B{C}_1}$, $s,t\in [0;1]$: $\overrightarrow{MN}=(-a(1-t);a(s-t);h(1-t))$ nên $M{N}^2=a^2[2(1-t{)}^2+(s-t{)}^2]=\frac{a^2}{4}$. Diện tích $S_{A_{1}BNM}=\frac{\sqrt{3}}{2}{a}^2[1-(1-s)(1-t)]$ (góc tại $C_1$ giữa $C_1{A}_1$ và $C_{1}B$ bằng $60^{\circ }$). Đặt $p=1-t$, $q=s-t$: ràng buộc $2p^2+q^2=\frac{1}{4}$, cần cực đại hóa $f=p^2-pq$. Lagrange cho $2p^2+2pq-q^2=0$ tức $\frac{q}{p}=1-\sqrt{3}$, khi đó $p^2=\frac{3+\sqrt{3}}{48}$ và $f_{\max }=\sqrt{3}{p}^2=\frac{\sqrt{3}+1}{16}\approx 0,1708$ (bộ giá trị $s,t\in [0;1]$ hợp lệ). Vậy $V_{\min }=\frac{1}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}{a}^2\left(1-\frac{\sqrt{3}+1}{16}\right)\cdot \frac{a\sqrt{6}}{3}=\frac{a^3\sqrt{2}(15-\sqrt{3})}{96}\approx 0,1955a^3\ne \frac{7\sqrt{2}}{48}{a}^3\approx 0,2062a^3$. → Sai.

c) $\overrightarrow{B{C}_1}=(-a;a;a\sqrt{2})$, $\overrightarrow{AC}=(0;a;0)$: $\cos (B{C}_1,AC)=\frac{a^2}{a\cdot 2a}=\frac{1}{2}$ nên góc bằng $60^{\circ }$. → Đúng.

d) $V=S_{ABC}\cdot A{A}_1=\frac{a^2}{2}\cdot a\sqrt{2}=\frac{a^3\sqrt{2}}{2}$. → Đúng.

Kết luận: a) Sai, b) Sai, c) Đúng, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $A$ đến $(A_{1}B{C}_1)$ là $\frac{a\sqrt{6}}{3}$, không phải $\frac{a\sqrt{6}}{6}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $MN=\frac{a}{2}$, giá trị nhỏ nhất của thể tích là $\frac{a^3\sqrt{2}(15-\sqrt{3})}{96}\approx 0,1955a^3\ne \frac{7\sqrt{2}}{48}{a}^3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\cos (B{C}_1,AC)=\frac{1}{2}$ nên góc bằng $60^{\circ }$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$V=\frac{a^2}{2}\cdot a\sqrt{2}=\frac{a^3\sqrt{2}}{2}$.