Cho hình lăng trụ đứng $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, biết $\Delta ABC$ cân tại $B$. Xác định góc phẳng nhị diện $[B^{\prime },AC,B]$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $M$ là trung điểm $AC$. Vì tam giác $ABC$ cân tại $B$ nên $BM\perp AC$. Vì lăng trụ đứng nên $B{B}^{\prime }\perp (ABC)$, suy ra $B{B}^{\prime }\perp AC$. Từ đó $AC\perp (B^{\prime }BM)$ (vì $AC$ vuông với hai đường thẳng cắt nhau $BM$ và $B{B}^{\prime }$ trong mặt phẳng đó). Suy ra $AC\perp B^{\prime }M$, $AC\perp BM$, tức $BM=B\cap (B^{\prime }BM)$... chính xác: giao tuyến của $(B^{\prime }AC)$ và $(BAC)$ là $AC$, hai đường $B^{\prime }M\perp AC$ và $BM\perp AC$ đều nằm trong mặt phẳng $(B^{\prime }BM)$. Vậy góc phẳng nhị diện $[B^{\prime },AC,B]$ là $\widehat{B^{\prime }MB}$, được xác định bởi tam giác $B^{\prime }MB$ vuông tại $B$ (vì $B{B}^{\prime }\perp (ABC)$ nên $B{B}^{\prime }\perp BM$), với $\tan \widehat{B^{\prime }MB}=\frac{B^{\prime }B}{BM}$, trong đó $BM$ là đường cao của tam giác $ABC$ hạ từ $B$ xuống $AC$. Do đề không cho số liệu cụ thể, kết quả là góc $\phi =\widehat{B^{\prime }MB}$ với $\tan \phi =\frac{B{B}^{\prime }}{BM}$.