Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng 2. Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $B^{\prime }{C}^{\prime }$ và $C{C}^{\prime }$. Tính $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{MN}$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ trục toạ độ với $A(0;0;0)$, $B(2;0;0)$, $C(2;2;0)$, $D(0;2;0)$, $A^{\prime }(0;0;2)$, $B^{\prime }(0;2;2)$, $C^{\prime }(2;2;2)$, $D^{\prime }(0;2;2)$. Khi đó $\overrightarrow{AC}=(2;2;0)$. Trung điểm $M$ của $B^{\prime }{C}^{\prime }$: $M(1;2;2)$; trung điểm $N$ của $C{C}^{\prime }$: $N(2;2;1)$. Suy ra $\overrightarrow{MN}=(1;0;-1)$. Vậy $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{MN}=2\cdot 1+2\cdot 0+0\cdot (-1)=2$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 2, Phần III: 2).