Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ có cạnh bằng a. Trên các cạnh CD và BB' ta lần lượt lấy các điểm M và N sao cho $DM=BN=x$ với $0\le x\le a$.
(I) $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\overrightarrow{A{A}^{\prime }}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}$
(II) Gọi $K$ là trung điểm AD khi đó $\overrightarrow{C^{\prime }K}=\overrightarrow{C^{\prime }C}+\overrightarrow{C^{\prime }{D}^{\prime }}+\frac{1}{2}\overrightarrow{C^{\prime }{B}^{\prime }}$.
(III) $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{B^{\prime }{D}^{\prime }}=a^2$.
(IV) Góc giữa vecto $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{MN}$ bằng $60^0$.
Trong các mệnh đề trên, số các phát biểu đúng là:

(AI giải đề cho tôi)
Thiết lập tọa độ: A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;a;0), D(0;a;0), A'(0;0;a), B'(a;0;a), C'(a;a;a), D'(0;a;a).
(I) Theo quy tắc hình hộp: AC' = AA' + AB + AD. Đúng.
(II) K trung điểm AD nên K(0; a/2; 0). C'K = (−a; −a/2; −a). Mặt khác C'C = (0;0;−a), C'D' = (−a;0;0), ½C'B' = (0;−a/2;0), tổng bằng (−a; −a/2; −a). Đúng.
(III) AB·B'D' = (a;0;0)·(−a;−a;0) = −a² ≠ a². Sai.
(IV) M(x; a; 0), N(a; 0; x) nên MN = (a−x; −a; x), AC = (a; a; 0). Tích vô hướng AC·MN = a(a−x) − a² = −ax, phụ thuộc x, nên góc giữa hai vecto không phải hằng số 60°. Sai.
Vậy có 2 phát biểu đúng → đáp án B.