Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,AD$.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng tọa độ: $A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0)$ và $A^{\prime }(0,0,1),\dots$; $O(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0)$, $O^{\prime }(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1)$, $M(\frac{1}{2},0,0)$, $N(0,\frac{1}{2},0)$.

a) Sai. Vì $O^{\prime }$ nằm trên $A^{\prime }{C}^{\prime }$ nên mặt phẳng $(A^{\prime }{O}^{\prime }{D}^{\prime })$ chứa $A^{\prime },C^{\prime },D^{\prime }$, tức chứa $C^{\prime }\in (B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C)$; hai mặt phẳng cắt nhau (chung điểm $C^{\prime }$), không song song.

b) Đúng. $(A{O}^{\prime }D)$: vectơ pháp tuyến từ $\overrightarrow{AD}=(0,1,0),\overrightarrow{A{O}^{\prime }}=(\frac{1}{2},\frac{1}{2},1)$ là $(2,0,-1)$, phương trình $2x-z=0$. $(O{C}^{\prime }{B}^{\prime })$: với $O(\frac{1}{2},\frac{1}{2},0),C^{\prime }(1,1,1),B^{\prime }(1,0,1)$, pháp tuyến là $(2,0,-1)$, phương trình $2x-z=1$. Hai pháp tuyến tỉ lệ và $B^{\prime }(1,0,1)$ không thuộc $(A{O}^{\prime }D)$ (vì $2\cdot 1-1=1\ne 0$), nên hai mặt phẳng phân biệt, do đó $(A{O}^{\prime }D)//(O{C}^{\prime }{B}^{\prime })$.

c) Đúng. $(O^{\prime }MN)$ có phương trình $2x+2y-z=1$. Điểm trên $BD$: $(1-t,t,0)$, thay vào vế trái được $2(1-t)+2t=2\ne 1$ với mọi $t$, mà vectơ chỉ phương của $BD$ $(-1,1,0)$ vuông góc với pháp tuyến $(2,2,-1)$ (vì $-2+2=0$). Vậy $BD\parallel (O^{\prime }MN)$, tức $BD$ không cắt $(O^{\prime }MN)$.

d) Sai. $(A^{\prime }BC)$ có phương trình $x+z=1$ (pháp tuyến $(1,0,1)$). Pháp tuyến $(2,2,-1)$ của $(O^{\prime }MN)$ không tỉ lệ với $(1,0,1)$ nên hai mặt phẳng cắt nhau theo một đường thẳng, do đó chúng có cắt nhau.
a) (AI giải đề cho tôi)
$O^{\prime }\in A^{\prime }{C}^{\prime }$ nên $(A^{\prime }{O}^{\prime }{D}^{\prime })=(A^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ chứa $C^{\prime }\in (B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C)$, hai mặt phẳng cắt nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(A{O}^{\prime }D):2x-z=0$ (pháp tuyến $(2,0,-1)$) và $(O{C}^{\prime }{B}^{\prime }):2x-z=1$ (pháp tuyến $(2,0,-1)$). Hai pháp tuyến tỉ lệ và $B^{\prime }(1,0,1)$ không thuộc $(A{O}^{\prime }D)$ vì $2\cdot 1-1=1\ne 0$, nên hai mặt phẳng phân biệt và song song.
c) (AI giải đề cho tôi)
$(O^{\prime }MN):2x+2y-z=1$; điểm $(1-t,t,0)$ trên $BD$ cho vế trái bằng $2\ne 1$ và $\overrightarrow{BD}\cdot \vec{n}=0$, nên $BD\parallel (O^{\prime }MN)$, không cắt.
d) (AI giải đề cho tôi)
$(A^{\prime }BC):x+z=1$ có pháp tuyến $(1,0,1)$ không tỉ lệ với $(2,2,-1)$ của $(O^{\prime }MN)$, nên hai mặt phẳng cắt nhau theo một đường.