Cho tứ diện $ABCD$ có điểm $G$ là trọng tâm tam giác $ABD$ và điểm $M$ thuộc cạnh $BC$ sao cho $MB=2MC$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ vectơ gốc tùy ý. $G=\frac{A+B+D}{3}$, $M=\frac{B+2C}{3}$ (vì $MB=2MC$). Suy ra $\overrightarrow{MG}=G-M=\frac{A+D-2C}{3}=(\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{CD})/3$... chính xác hơn $\overrightarrow{MG}=\frac{(A-C)+(D-C)}{3}$, tức $\overrightarrow{MG}$ là tổ hợp của hai vectơ chỉ phương mặt phẳng $(ACD)$. Mặt khác $M$ có thành phần theo $B$ là $1/3\ne 0$ nên $M\notin (ACD)$. Vậy $MG\parallel (ACD)$ (không nằm trong). a) Phương trình $M+t\overrightarrow{MG}=(1-s)A+sC$ cho hệ số của $B$ bằng $1/3=0$, vô nghiệm, nên $MG$ không cắt $AC$ → sai. b) $\overrightarrow{MG}$ không tỉ lệ $\overrightarrow{AB}$ → sai. c) Đúng như trên. d) Vì $MG\parallel (ACD)$ và $MG\not\subset (ACD)$, giao tuyến của $(BMG)$ và $(ACD)$ là đường thẳng qua điểm chung (khác $M,G$) song song $MG$, không phải $MG$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Giải $M+t\overrightarrow{MG}=(1-s)A+sC$, hệ số của $B$ cho $1/3=0$: vô nghiệm, nên $MG$ không cắt $AC$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MG}=\frac{A+D-2C}{3}$ không cùng phương với $\overrightarrow{AB}$ (có thành phần theo $C,D$).
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{MG}=\frac{(\overrightarrow{CA})+(\overrightarrow{CD})}{3}$ thuộc hệ vectơ chỉ phương của $(ACD)$ và $M\notin (ACD)$, nên $MG\parallel (ACD)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $MG\parallel (ACD)$ và $MG\not\subset (ACD)$, giao tuyến $(BMG)\cap (ACD)$ là đường thẳng song song với $MG$ đi qua giao điểm của $BG$ (hoặc $BM$) với $(ACD)$, không phải $MG$.