Cho hình nón đỉnh $S$ có đường cao $h=a\sqrt{3}$. Một mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua đỉnh $S$, cắt đường tròn đáy tại hai điểm $A,B$ sao cho $AB=8a$ và tạo với mặt đáy một góc $30^{\circ }$. Tính diện tích xung quanh của hình nón.

Gọi $O$ là tâm đường tròn đáy của hình nón, $I$ là trung điểm của dây cung $AB$.
Ta có $OI\perp AB$ và $SI\perp AB$, nên góc giữa $(\alpha )$ và mặt đáy là $\widehat{SIO}=30^{\circ }$.

Trong tam giác vuông $SOI$ vuông tại $O$:
$OI=\frac{SO}{\tan 30^{\circ }}=\frac{a\sqrt{3}}{\frac{1}{\sqrt{3}}}=3a$
Bán kính đường tròn đáy của hình nón:
$R=OA=\sqrt{O{I}^2+I{A}^2}=\sqrt{(3a{)}^2+(4a{)}^2}=5a$
Độ dài đường sinh của hình nón:
$l=\sqrt{h^2+R^2}=\sqrt{(a\sqrt{3}{)}^2+(5a{)}^2}=\sqrt{3a^2+25a^2}=2a\sqrt{7}$
Diện tích xung quanh của hình nón là:
$S_{xq}=\pi Rl=\pi \cdot 5a\cdot 2a\sqrt{7}=10\sqrt{7}\pi a^2.$