Cho hình tứ diện $ABCD$ có tất cả các cạnh bằng 6. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $CA,CB$. $P$ là điểm trên cạnh $BD$ sao cho $BP=2PD$. Gọi $(H)$ là hình giới hạn bởi giao tuyến của mặt phẳng $(MNP)$ với các mặt của tứ diện $ABCD$. Tính diện tích hình $(H)$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M,N$ là trung điểm của $CA,CB$ nên $MN\parallel AB$, suy ra mặt phẳng $(MNP)$ song song với $AB$. Trong mặt $(ABD)$, giao tuyến của $(MNP)$ với mặt này là đường thẳng qua $P$ song song với $AB$, cắt $AD$ tại $Q$ với $\frac{AQ}{AD}=\frac{BP}{BD}=\frac{2}{3}$. Vậy $(H)$ là tứ giác $MNPQ$ với $M\in AC$, $N\in BC$, $P\in BD$, $Q\in AD$.

Chọn hệ tọa độ: $B=(0,0,0)$, $C=(6,0,0)$, $A=(3,3\sqrt{3},0)$, $D=(3,\sqrt{3},2\sqrt{6})$ (tứ diện đều cạnh 6, kiểm tra $AD=\sqrt{12+24}=6$). Khi đó:
$M=\left(\frac{9}{2},\frac{3\sqrt{3}}{2},0\right)$, $N=(3,0,0)$, $P=\frac{2}{3}D=\left(2,\frac{2\sqrt{3}}{3},\frac{4\sqrt{6}}{3}\right)$, $Q=\frac{1}{3}A+\frac{2}{3}D=\left(3,\frac{5\sqrt{3}}{3},\frac{4\sqrt{6}}{3}\right)$.

Kiểm tra: $\overrightarrow{PQ}=(1,\sqrt{3},0)$ cùng phương với $\overrightarrow{AB}=(3,3\sqrt{3},0)$, độ dài $PQ=2$; $\overrightarrow{MN}=(-\frac{3}{2},-\frac{3\sqrt{3}}{2},0)$ cũng song song $AB$; bốn điểm cùng thuộc một mặt phẳng có pháp tuyến $\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{MP}=\left(-6\sqrt{2},2\sqrt{6},-\frac{5\sqrt{3}}{2}\right)$.

Diện tích $S=S_{△MNP}+S_{△MPQ}$:
- $\left|\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{MP}\right|=\frac{3\sqrt{51}}{2}$ (vì $72+24+\frac{75}{4}=\frac{459}{4}$), nên $S_{MNP}=\frac{3\sqrt{51}}{4}$.
- $\overrightarrow{MQ}\times \overrightarrow{MP}=\left(4\sqrt{2},-\frac{4\sqrt{6}}{3},\frac{5\sqrt{3}}{3}\right)$, độ dài $\sqrt{32+\frac{32}{3}+\frac{25}{3}}=\sqrt{51}$, nên $S_{MPQ}=\frac{\sqrt{51}}{2}$.

Tổng: $S=\frac{3\sqrt{51}}{4}+\frac{\sqrt{51}}{2}=\frac{5\sqrt{51}}{4}\approx 8.93$.