Cho $I={\int }_1^e\frac{\sqrt{1+3\ln x}}{x}dx$ và $t=\sqrt{1+3\ln x}$. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

Phương pháp:
- Bước 1: Đặt $t=u(x)$, đổi cận $\{\begin{array}{l}x=a\Rightarrow t=u(a)=a^{\prime }\\ x=b\Rightarrow t=u(b)=b^{\prime }\end{array}$.
- Bước 2: Tính vi phân $dt=u^{\prime }(x)dx$.
- Bước 3: Biến đổi $f(x)dx$ thành $g(t)dt$.
- Bước 4: Tính tích phân ${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_{a^{\prime }}^{b^{\prime }}g(t)dt$.
Cách giải:
Đặt $t=\sqrt{1+3\ln x}\Rightarrow t^2=1+3\ln x$.
$\Rightarrow 2tdt=\frac{3dx}{x}\Rightarrow \frac{dx}{x}=\frac{2}{3}tdt$
Đổi cận: $\{\begin{array}{l}x=1\Rightarrow t=1\\ x=e\Rightarrow t=2\end{array}$.
Khi đó ta có:
$$I={\int }_1^e\frac{\sqrt{1+3\ln x}}{x}dx={\int }_1^e\sqrt{1+3\ln x}.\frac{dx}{x}$$
$$I={\int }_1^{2}t.\frac{2}{3}tdt=\frac{2}{3}{\int }_1^2{t}^{2}dt=\frac{2}{3}.\frac{t^3}{3}{|}_1^2=\frac{2}{9}{t}^3{|}_1^2$$
$$=\frac{2}{9}(8-1)=\frac{14}{9}$$
Do đó các đáp án B, D đúng.
Lại có $\left(\frac{2t^3}{9}\right){|}_1^2=\frac{2.8}{9}+2.\frac{1}{9}=\frac{14}{9}$, nên đáp án C đúng.
Vậy A sai.
Chọn A.
Chú ý khi giải: Một số em tính được $I=\underset{1}{\overset{2}{\int }}{t}^{2}dt={\frac{2t^3}{9}|}_1^2$ thì kết luận ngay đáp án C sai là không đúng vì ${\frac{2t^3}{9}|}_1^2=\left(\frac{2t^3}{9}\right){|}_1^2$.