Cho khối chóp đều $S.ABCD$ có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với mặt đáy 1 góc $45^{\circ }$. a) Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$. b) Tính khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt bên của khối chóp.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $O$ là tâm đáy $ABCD$ của khối chóp đều $S.ABCD$ có cạnh đáy $a$. Vì là chóp đều nên $SO\perp (ABCD)$, góc giữa cạnh bên $SA$ và mặt đáy là góc $\angle SAO=45^{\circ }$.

a) Đường chéo $AC=a\sqrt{2}$, nên $AO=\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Trong tam giác vuông $SOA$ vuông tại $O$:
$$SO=AO\cdot \tan 45^{\circ }=\frac{a\sqrt{2}}{2}.$$
Thể tích:
$$V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SO=\frac{1}{3}{a}^2\cdot \frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{a^3\sqrt{2}}{6}.$$

b) Gọi $E$ là trung điểm $BC$. Tam giác $SOE$ vuông tại $O$ với $SO=\frac{a\sqrt{2}}{2}$, $OE=\frac{a}{2}$, nên $SE=\sqrt{S{O}^2+O{E}^2}=\sqrt{\frac{a^2}{2}+\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Vì $BC\perp OE$ và $BC\perp SO$ nên $BC\perp (SOE)$, do đó $(SBC)\perp (SOE)$ theo giao tuyến $SE$. Khoảng cách từ $O$ đến mặt bên $(SBC)$ là đường cao $OH$ của tam giác vuông $SOE$ hạ từ $O$ xuống $SE$:
$$d(O,(SBC))=OH=\frac{SO\cdot OE}{SE}=\frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{a}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{a\sqrt{6}}{6}.$$

Kết luận: $V=\frac{a^3\sqrt{2}}{6}$ và $d=\frac{a\sqrt{6}}{6}$.