Cho tứ diện đều $ABCD$ có cạnh bằng $4\sqrt{2}$. Tính khoảng cách của giữa đường thẳng chéo nhau $AB$ và $CD$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a=4\sqrt{2}$, gọi $I$ là trung điểm của $AB$, $J$ là trung điểm của $CD$. Ta có $CI\perp AB$ (vì tam giác $ABC$ cân tại $C$) và $DI\perp AB$ (vì tam giác $ABD$ cân tại $D$), suy ra $AB\perp (CDI)$, do đó $AB\perp IJ$. Tương tự, $CD\perp IJ$. Vậy $IJ$ là đoạn vuông góc chung của $AB$ và $CD$, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $AB$ và $CD$ là $d(AB,CD)=IJ$.

Tam giác $ICD$ cân tại $I$ với $IC=ID=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ (đường cao của tam giác đều cạnh $a$), nên $IJ$ là đường cao: $IJ=\sqrt{I{C}^2-J{C}^2}=\sqrt{\frac{3a^2}{4}-\frac{a^2}{4}}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Thay $a=4\sqrt{2}$: $IJ=\frac{4\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}{2}=4$.

Vậy $d(AB,CD)=4$.