Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật, mặt bên $SAD$ là tam giác đều cạnh $2a$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy, mặt phẳng $(SBC)$ tạo với mặt phẳng đáy một góc $45^{\circ }$. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $H$ là trung điểm $AD$. Vì $SAD$ đều cạnh $2a$ nên $SH\perp AD$ và $SH=\sqrt{(2a{)}^2-a^2}=a\sqrt{3}$. Vì $(SAD)\perp (ABCD)$ với giao tuyến $AD$ và $SH\subset (SAD)$, $SH\perp AD$ nên $SH\perp (ABCD)$, tức $SH=a\sqrt{3}$ là chiều cao khối chóp.

Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $BC\parallel AD$, do đó $BC\parallel (SAD)$ và đường thẳng giao của $(SBC)$ với $(ABCD)$ là đường thẳng $d$ qua $B$ song song $AD$ (tức song song $BC$). Góc giữa $(SBC)$ và $(ABCD)$ là góc giữa $SH$ và hình chiếu của $S$ lên $d$. Khoảng cách từ $H$ đến $d$ bằng $AB$ (vì $H$ nằm trên $AD$, $d$ qua $B$ song song $AD$).

Trong mặt phẳng vuông góc với $d$ chứa $S,H$: góc giữa $(SBC)$ và đáy thỏa $\tan 45^{\circ }=\frac{SH}{AB}$, suy ra $AB=SH=a\sqrt{3}$.

Thể tích: $V=\frac{1}{3}\cdot S_{ABCD}\cdot SH=\frac{1}{3}\cdot (AD\cdot AB)\cdot SH=\frac{1}{3}\cdot 2a\cdot a\sqrt{3}\cdot a\sqrt{3}=\frac{1}{3}\cdot 6a^3=2a^3$.

Vậy $V_{S.ABCD}=2a^3$.