Cho khối chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh bằng $2a$, $\widehat{ABC}=60^{\circ }$. Tam giác $SAB$ cân tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa mặt phẳng $(SCD)$ và mặt đáy bằng $60^{\circ }$. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$.

Đáy $ABCD$ là hình thoi gồm hai tam giác đều cạnh $2a$ nên diện tích đáy $S_{ABCD}=2\cdot \frac{(2a{)}^2\sqrt{3}}{4}=2\sqrt{3}{a}^2$.
Gọi $H$ là trung điểm của $AB$, do $\Delta SAB$ cân tại $S$ và $(SAB)\perp (ABCD)$ nên $SH\perp (ABCD)$.
Khoảng cách từ $H$ đến $CD$ bằng chiều cao hình thoi: $d(H,CD)=2a\sin 60^{\circ }=a\sqrt{3}$.
Góc giữa $(SCD)$ và đáy là $\widehat{SKH}=60^{\circ }$ (với $HK\perp CD$). Chiều cao chóp: $SH=HK\tan 60^{\circ }=a\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=3a$.
Thể tích khối chóp $S.ABCD$ là: $V=\frac{1}{3}{S}_{ABCD}\cdot SH=\frac{1}{3}\cdot 2\sqrt{3}{a}^2\cdot 3a=2\sqrt{3}{a}^3$.