Cho lăng trụ $ABC{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có $\Delta ABC$ vuông tại $A$, $AB=2a$ và $AC=a$. Gọi trung điểm $H$ của $AB$ là hình chiếu vuông góc của điểm $A^{\prime }$ lên mp$(ABC)$ và $A{A}^{\prime }=3a$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $H$ là trung điểm $AB$ và $A^{\prime }H\perp (ABC)$ nên tam giác $A{A}^{\prime }H$ vuông tại $H$ với $AH=\frac{AB}{2}=a$, $A{A}^{\prime }=3a$. Chiều cao lăng trụ $A^{\prime }H=\sqrt{A{A}^{\prime 2}-A{H}^2}=\sqrt{9a^2-a^2}=2\sqrt{2}a$, nên câu a) sai (không phải $a\sqrt{10}$). Diện tích đáy $S=\frac{1}{2}AB\cdot AC=\frac{1}{2}(2a)(a)=a^2$, câu b) đúng. Thể tích $V=S\cdot A^{\prime }H=a^2\cdot 2\sqrt{2}a=2\sqrt{2}{a}^3\ne \sqrt{10}{a}^3$, câu c) sai. Góc giữa $A^{\prime }C$ và $(ABC)$ là $\widehat{A^{\prime }CH}$: đặt hệ tọa độ $A(0,0,0)$, $B(2a,0,0)$, $C(0,a,0)$, $H(a,0,0)$, $A^{\prime }(a,0,2\sqrt{2}a)$; $HC=a\sqrt{2}$ nên $\tan \widehat{A^{\prime }CH}=\frac{A^{\prime }H}{HC}=\frac{2\sqrt{2}a}{a\sqrt{2}}=2$, suy ra góc $\approx 63^{\circ }\ne 72^{\circ }$, câu d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác $A{A}^{\prime }H$ vuông tại $H$, $AH=a$, $A{A}^{\prime }=3a$ nên chiều cao $A^{\prime }H=\sqrt{9a^2-a^2}=2\sqrt{2}a\ne a\sqrt{10}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\Delta ABC$ vuông tại $A$: $S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot 2a\cdot a=a^2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$V=S_{đ\acute{a}y}\cdot h=a^2\cdot 2\sqrt{2}a=2\sqrt{2}{a}^3\ne \sqrt{10}{a}^3$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Góc giữa $A^{\prime }C$ và $(ABC)$ là $\widehat{A^{\prime }CH}$ với $HC=a\sqrt{2}$, $\tan \widehat{A^{\prime }CH}=\frac{2\sqrt{2}a}{a\sqrt{2}}=2\Rightarrow \widehat{A^{\prime }CH}\approx 63^{\circ }\ne 72^{\circ }$.