Cho lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ có đáy là tam giác đều cạnh 5. Biết góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là $60^{\circ }$ và hình chiếu vuông góc của điểm $A$ lên mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ là trung điểm $H$ của cạnh $B^{\prime }{C}^{\prime }$ ( như hình vẽ). Tính cotang góc giữa hai đường thẳng $BC$ và $A{C}^{\prime }$. ( kết quả làm tròn đến chữ số hàng phần trăm.)

(AI giải đề cho tôi)
Hạ hệ trục: đặt $H$ là gốc, $B^{\prime }{C}^{\prime }$ nằm trên trục hoành. Vì $AH\perp (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ và góc giữa cạnh bên $A{A}^{\prime }$ với mặt đáy bằng $60^{\circ }$ nên góc $\widehat{A{A}^{\prime }H}=60^{\circ }$, suy ra $AH=A^{\prime }H\cdot \tan 60^{\circ }$. Tam giác đều $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ cạnh 5 có $A^{\prime }H=\frac{5\sqrt{3}}{2}$ (đường cao), do đó $AH=\frac{5\sqrt{3}}{2}\cdot \sqrt{3}=\frac{15}{2}$. Tọa độ: $H(0;0;0)$, $B^{\prime }\left(-\frac{5}{2};0;0\right)$, $C^{\prime }\left(\frac{5}{2};0;0\right)$, $A^{\prime }\left(0;\frac{5\sqrt{3}}{2};0\right)$, $A\left(0;0;\frac{15}{2}\right)$, và $B\left(-\frac{5}{2};-\frac{5\sqrt{3}}{2};\frac{15}{2}\right)$, $C\left(\frac{5}{2};-\frac{5\sqrt{3}}{2};\frac{15}{2}\right)$. Vectơ $\overrightarrow{BC}=(5;0;0)$, $\overrightarrow{A{C}^{\prime }}=\left(\frac{5}{2};0;-\frac{15}{2}\right)$, $\left|\overrightarrow{BC}\right|=5$, $\left|\overrightarrow{A{C}^{\prime }}\right|=\frac{5\sqrt{10}}{2}$. Cosin góc giữa hai đường thẳng: $\cos \theta =\frac{\left|\overrightarrow{BC}\cdot \overrightarrow{A{C}^{\prime }}\right|}{\left|\overrightarrow{BC}\right|\left|\overrightarrow{A{C}^{\prime }}\right|}=\frac{25/2}{\frac{25\sqrt{10}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{10}}$. Suy ra $\sin \theta =\frac{3}{\sqrt{10}}$ và $\cot \theta =\frac{\cos \theta }{\sin \theta }=\frac{1}{3}\approx 0,33$. (Kiểm tra lại: góc giữa $A{C}^{\prime }$ và phương ngang có $\tan \theta =\frac{AH}{H{C}^{\prime }}=\frac{15/2}{5/2}=3$, nên $\cot \theta =1/3$.) Kết quả khớp với đáp án nguồn 0,33.