Cho mặt cầu $(S)$ tâm $O$ bán kính $R$, một điểm $M$ nằm trong mặt cầu sao cho $OM=4$. Mặt phẳng $(P)$ qua $M$ cắt mặt cầu $(S)$ theo một đường tròn $(C)$ có chu vi nhỏ nhất bằng $6\pi$. Thể tích khối nón đỉnh $O$ đáy là đường tròn $(C)$ bằng

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 34 chọn đáp án B.

Gọi $r$ là bán kính đường tròn giao tuyến $(C)$, $d=d(O;(P))$ là khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng $(P)$.
Ta có $r=\sqrt{R^2-d^2}$. Chu vi đường tròn $(C)$ nhỏ nhất khi bán kính $r$ nhỏ nhất, tương đương với $d$ lớn nhất.
Vì $M\in (P)$ nên $d=d(O;(P))\le OM=4$.
Do đó $d$ đạt giá trị lớn nhất bằng $OM=4$ khi $OM\perp (P)$.
Khi đó, chu vi đường tròn nhỏ nhất là $2\pi r=6\pi \Rightarrow r=3$.
Khối nón có đỉnh $O$, đáy là đường tròn $(C)$ có chiều cao $h=OM=4$ và bán kính đáy $r=3$.
Thể tích khối nón là:
$V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi \cdot 3^2\cdot 4=12\pi .$

Chọn đáp án B.