Cho năm điểm $A,B,C,D,E$. Chứng minh rằng

a) $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{ED}$.

b) $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CB}$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 15: Chứng minh hai đẳng thức vectơ bằng cách biến đổi mỗi vế về cùng một vectơ.

a) Ta có:
$$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{CD}.$$
Mặt khác:
$$\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{ED}=\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{EB}+\overrightarrow{CD}.$$
Vậy $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{EA}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{ED}$ (đpcm).

b) Ta có:
$$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CE}.$$
Vế phải:
$$\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CE}.$$
Cách khác gọn hơn: biến đổi cả hai vế theo $\overrightarrow{AE}$:
- Vế trái: $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CE}$; mà $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{ED}$ nên vế trái $=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{CD}$ (vì $\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CD}$).
- Vế phải: $\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{CD}$ (vì $\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{CD}$).

Hai vế đều bằng $\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{CD}$, vậy $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{CB}$ (đpcm).