Cho phương trình lượng giác $\sin \left(5x+\frac{\pi }{3}\right)=\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)$.

a) Phương trình đã cho tương đương với phương trình $\sin \left(5x+\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(\frac{5\pi }{6}-2x\right)$.

b) Nghiệm của phương trình là $\{\begin{array}{l}x=\frac{\pi }{14}+k\frac{2\pi }{7}\\ x=-\frac{\pi }{18}+k\frac{2\pi }{3}\end{array}$.

c) Trên $[0;\pi ]$ phương trình có 4 nghiệm.

d) Tổng các nghiệm của phương trình trên $[0;\pi ]$ bằng $\frac{47\pi }{18}$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}-\left(2x-\frac{\pi }{3}\right)\right)=\sin \left(\frac{5\pi }{6}-2x\right)$, nên a) ĐÚNG.

Giải $\sin \left(5x+\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(\frac{5\pi }{6}-2x\right)$:
- Trường hợp 1: $5x+\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{6}-2x+2k\pi \Rightarrow 7x=\frac{\pi }{2}+2k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{14}+k\frac{2\pi }{7}$.
- Trường hợp 2: $5x+\frac{\pi }{3}=\pi -\left(\frac{5\pi }{6}-2x\right)+2k\pi =\frac{\pi }{6}+2x+2k\pi \Rightarrow 3x=-\frac{\pi }{6}+2k\pi \Rightarrow x=-\frac{\pi }{18}+k\frac{2\pi }{3}$.
Vậy b) ĐÚNG.

Trên $[0;\pi ]$:
- Họ $x=\frac{\pi }{14}+k\frac{2\pi }{7}$: với $k=0,1,2,3$ ta được $\frac{\pi }{14},\frac{5\pi }{14},\frac{9\pi }{14},\frac{13\pi }{14}$ (4 nghiệm; $k=4$ cho $\frac{17\pi }{14}>\pi$).
- Họ $x=-\frac{\pi }{18}+k\frac{2\pi }{3}$: chỉ $k=1$ cho $\frac{11\pi }{18}$ (1 nghiệm).
Tổng cộng 5 nghiệm, nên c) SAI.

Tổng các nghiệm: $\frac{\pi }{14}+\frac{5\pi }{14}+\frac{9\pi }{14}+\frac{13\pi }{14}+\frac{11\pi }{18}=\frac{28\pi }{14}+\frac{11\pi }{18}=2\pi +\frac{11\pi }{18}=\frac{47\pi }{18}$. Vậy d) ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(\frac{\pi }{2}-2x+\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(\frac{5\pi }{6}-2x\right)$, phương trình đã cho tương đương với $\sin \left(5x+\frac{\pi }{3}\right)=\sin \left(\frac{5\pi }{6}-2x\right)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ $\sin A=\sin B$: TH1 $5x+\frac{\pi }{3}=\frac{5\pi }{6}-2x+2k\pi \Rightarrow x=\frac{\pi }{14}+k\frac{2\pi }{7}$; TH2 $5x+\frac{\pi }{3}=\pi -\left(\frac{5\pi }{6}-2x\right)+2k\pi \Rightarrow x=-\frac{\pi }{18}+k\frac{2\pi }{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Trên $[0;\pi ]$: họ $\frac{\pi }{14}+k\frac{2\pi }{7}$ cho 4 nghiệm $\frac{\pi }{14},\frac{5\pi }{14},\frac{9\pi }{14},\frac{13\pi }{14}$; họ $-\frac{\pi }{18}+k\frac{2\pi }{3}$ cho 1 nghiệm $\frac{11\pi }{18}$. Tổng cộng 5 nghiệm, không phải 4.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng các nghiệm trên $[0;\pi ]$ là $\frac{\pi }{14}+\frac{5\pi }{14}+\frac{9\pi }{14}+\frac{13\pi }{14}+\frac{11\pi }{18}=2\pi +\frac{11\pi }{18}=\frac{47\pi }{18}$.