Cho số phức $z=a+bi$ $(a,b\in \mathbb{R})$ không là số thực và thỏa mãn $\frac{3z^2+4z+5}{z^2+z+2}$ là số thực. Tính $a+b$ khi biểu thức $P=|z-5|+2|z-2-3i|$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có $\frac{3z^2+4z+5}{z^2+z+2}=3+\frac{z-1}{z^2+z+2}\in \mathbb{R}$. Do $z\notin \mathbb{R}$ nên $\frac{z-1}{z^2+z+2}=\frac{\bar{z}-1}{{\bar{z}}^2+\bar{z}+2}\iff |z-1{|}^2=4$, suy ra điểm $M(a;b)$ thuộc đường tròn tâm $I(1;0)$, bán kính $R=2$. Dùng tam giác đồng dạng với $A(5;0)$ ($IA=4=2R$), lấy $K(2;0)$ thì $MA=2MK$, nên $P=2(MK+MB)\ge 2KB$ với $B(2;3)$, đạt giá trị nhỏ nhất tại $M(2;\sqrt{3})\Rightarrow a+b=2+\sqrt{3}$.