Cho số phức $z$ thoả mãn $|z-3-4i|=\sqrt{5}$. Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=|z+2{|}^2-|z-i{|}^2$. Tính môđun của số phức $w=M+mi$.

Gọi $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$). Điểm biểu diễn của $z$ thuộc đường tròn $(C)$ có tâm $I(3;4)$, bán kính $R=\sqrt{5}$.
Ta có $P=(x+2{)}^2+y^2-[x^2+(y-1{)}^2]=x^2+4x+4+y^2-x^2-y^2+2y-1=4x+2y+3$.
Tại tâm $I(3;4)$, giá trị biểu thức là $P_0=4(3)+2(4)+3=23$. Độ lớn vectơ gradient là $\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$.
Do đó $M=P_0+R\sqrt{4^2+2^2}=23+\sqrt{5}(2\sqrt{5})=23+10=33$.
$m=P_0-R\sqrt{4^2+2^2}=23-10=13$.
Số phức $w=33+13i\Rightarrow |w|=\sqrt{33^2+13^2}=\sqrt{1089+169}=\sqrt{1258}$. Vậy chọn A.