Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{BAC}=120^{\circ }$ và ba cạnh của tam giác lập thành một cấp số cộng có công sai bằng 2. Diện tích của tam giác $ABC$ bằng bao nhiêu?

(AI giải đề cho tôi)
Gọi ba cạnh là $a,a+2,a+4$ với $a>0$. Góc $\widehat{BAC}=120^{\circ }$ ở đỉnh A nên cạnh đối diện là cạnh lớn nhất $a+4$. Định lí cosin: $(a+4{)}^2=a^2+(a+2{)}^2-2a(a+2)\cos 120^{\circ }=a^2+(a+2{)}^2+a(a+2)=3a^2+6a+4$. Suy ra $a^2+8a+16=3a^2+6a+4\iff 2a^2-2a-12=0\iff a^2-a-6=0$, nên $a=3$ (nghiệm dương). Ba cạnh là $3,5,7$ (thỏa mãn bất đẳng thức tam giác). Diện tích: $S=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 5\cdot \sin 120^{\circ }=\frac{15\sqrt{3}}{4}$. Kết quả trùng với đáp án đã cho.