Giải phương trình $\sqrt{2}\tan 2x=\frac{2\sin x+\sqrt{2}\cos x-1}{\cos 2x}$.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $\cos 2x\ne 0$ (để $\tan 2x$ và mẫu xác định). Nhân hai vế với $\cos 2x$:
$$\sqrt{2}\sin 2x=2\sin x+\sqrt{2}\cos x-1.$$
Với $\sin 2x=2\sin x\cos x$:
$$2\sqrt{2}\sin x\cos x-2\sin x-\sqrt{2}\cos x+1=0$$
$$\iff 2\sin x(\sqrt{2}\cos x-1)-(\sqrt{2}\cos x-1)=0$$
$$\iff (2\sin x-1)(\sqrt{2}\cos x-1)=0.$$

**TH1:** $\sin x=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\frac{\pi }{6}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{5\pi }{6}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Khi đó $\cos 2x=\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}\ne 0$ (thỏa mãn điều kiện).

**TH2:** $\cos x=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow x=\pm \frac{\pi }{4}+k2\pi$. Khi đó $\cos 2x=\cos \frac{\pi }{2}=0$ (loại).

Vậy tập nghiệm: $S=\left\{\frac{\pi }{6}+k2\pi ,\frac{5\pi }{6}+k2\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.