Cho tam giác $ABC$ có $BC=a;CA=b;BA=c$ và diện tích là $S$. Biết $S=b^2-(a-c{)}^2$. Khi đó ta tìm được $tanB=\frac{m}{n}$. Tính $m-2n$

(AI giải đề cho tôi)
Từ $S=b^2-(a-c{)}^2=(b+c-a)(a+b-c)$. Vì $(a+c{)}^2-b^2=(a+c-b)(a+b+c)$ nên tích hai biểu thức này bằng $(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)(a+b+c)=16S^2$. Do đó $b^2-(a-c{)}^2=\frac{16S^2}{(a+c{)}^2-b^2}$. Kết hợp $S=b^2-(a-c{)}^2$ suy ra $(a+c{)}^2-b^2=16S$. Mặt khác theo định lí cosin: $(a+c{)}^2-b^2=2ac(1+\cos B)$, và $S=\frac{1}{2}ac\sin B$, nên $2ac(1+\cos B)=8ac\sin B\Rightarrow 1+\cos B=4\sin B$. Do đó $2{\cos }^2\frac{B}{2}=8\sin \frac{B}{2}\cos \frac{B}{2}\Rightarrow \tan \frac{B}{2}=\frac{1}{4}$. Suy ra $\tan B=\frac{2t}{1-t^2}=\frac{1/2}{15/16}=\frac{8}{15}$, tức $m=8,n=15$, vậy $m-2n=8-30=-22$, khớp đáp án nguồn.